Потенциалы электромагнитного поля. Излучение точечного заряда. Излуче­ние диполя в дальней зоне. Излучение ротатора. Излучение квадруполя. Элек­трическое поле заряда, движущегося прямолинейно и равномерно.

Согласно классическим представлениям, элементарным источником света является ускоренно движущаяся заряженная частица. Поэтому математиче­ское описание излучения заряда, основанное на уравнениях Максвелла, имеет для оптики принципиальное значение. В этом дополнении рассказано о том как проблема излучения решается в классической электродинамике. Сначала из­лагается общий подход, основанный на теории потенциалов электромагнитного поля. Затем вычисляются характеристики излучения точечного заряда, дипо­ля, ротатора, квадруполя. Наше изложение следует в основном книгам [1-3].

Потенциалы электромагнитного поля. Рассмотрим произвольную си­стему электрических зарядов, движущихся в вакууме. Для отыскания поля излучения будем исходить из уравнений Максвелла

div Ё = 4я р,

(Д6.1)

(Д6.2)

(Д6.4)

(Дб. з)

div Н = 0.

Заметим, что плотность заряда р = p(r, t) и плотность тока j = j(f, t) не явля­ются здесь независимыми. Они связаны соотношением

(Д6.5)

div j + др/dt = 0,

которое вытекает из уравнений (Д6.2), (Д6.3) и называется уравнением непре­рывности. Это уравнение выражает закон сохранения электрического заряда.

Для решения уравнений Максвелла удобно ввести некоторые вспомогатель­ные функции, называемые потенциалами электромагнитного поля. Вектор-

(Д6.6)

ный потенциал А = A(r, t) определяется формулой

Н = rot А.

Такое представление поля Н обращает уравнение (Д6.4) в тождество. Подста­новка (Д6.6) в (Д6.1) приводит к уравнению
которое будет удовлетворено, если положить

1 В А

Е = —~-ёгвА<р. (Д6.7)

Здесь у> = ip(f, t) — скалярный потенциал. Подставив (Д6.6) и (Д6.7) в (Д6.2), получим уравнение

А 1 д2А 4ir-f ( — 1 д<р т.

AA-^w = ~1+*tsd{dlvA+c-di)- W’8)

Так как формулы (Д6.6) и (Д6.7) определяют только ротор векторного потен­циала и градиент скалярного потенциала, т. е. определяют Аи ip неоднозначно, оказывается возможным наложить на потенциалы некоторые дополнительные условия. В частности, можно потребовать, чтобы

divl+^ = 0′ (Д6-9)

Это уравнение называют лоренцевой калибровкой потенциала. Условие (Д6.9) позволяет переписать уравнение (Д6.8) в виде

аі-Ш=-4і1 (д6-10)

Наконец, подставляя (Д6.7) в (Д6.5) и принимая во внимание (Д6.9), получим уравнение

1 д2ір

Alf~^W = ~4*р’ (Д6-11)

Для отыскания структуры поля излучения достаточно найти решение уравне­ний (Д6.10), (Д6.11) для потенциалов поля. После этого поля Е и Н можно вычислить по формулам (Д6.6), (Д6.7).

Рассмотрим уравнение (Д6.11). Так как это уравнение линейно, его реше­ние может быть представлено в виде суперпозиции скалярных потенциалов, со­здаваемых точечными электрическими зарядами, находящимися в различных точках пространства. Таким образом, решение уравнения (Д6.11) в своей глав­ной части сводится к отысканию потенциала неподвижного точечного заряда, который, однако, может меняться во времени (с этой точки зрения движение заряда есть “перетекание” его из одной точки пространства в другую).

Пусть q = qit) — мгновенная величина электрического заряда, расположен­ного в некоторой фиксированной точке “О”. Если другие заряды отсутствуют, то везде, кроме точки “О”, уравнение (Д6.11) является однородным:

№12>

Поле точечного заряда должно обладать сферической симметрией. Решение уравнения (Д6.12), удовлетворяющее этому условию, есть сферическая волна:

Ч>= г

(Д6.13)

где г есть расстояние от заряда до точки наблюдения, / — произвольная (диф­ференцируемая) функция своего аргумента, t — время, с — скорость света. С

другой стороны ясно, что в пределе г 0 эффекты распространения должны

исчезать, и потенциал точечного заряда должен стремиться к своему квазиста — тическому значению:

limy>(r, i) = — q(t). (Д6.14)

r-Л О Г

Сопоставляя (Д6.13) и (Д6.14), находим искомый потенциал поля переменного точечного заряда:

<p(r, t) = — q(t — гIс) (Д6.15)

Г

или

<p(r, t) = — p(t — г/с) dV. г

Отсюда для произвольной системы движущихся зарядов

= / г~ргр(г’’*~ dV’ (Д6’16)

Аналогичный вид имеет решение уравнения (Д6.10):

A(r, t) = — cJ і^ті J (f’,t — d3r’. (Д6.17)

В формулах (Д6.16), (Д6.17) интегрирование следует проводить по всей области пространства, где имеются заряды и токи.

Излучение точечного заряда. Вычислим поле излучения точечного за­ряда q, движущегося по заданному закону f = r0(t). Предварительно перепи­шем формулы (Д6.16), (Д6.17) в виде

= JJ ^p{f’,t’)8^t1 + Д ^ d3r’dt’, (Д6.18)

A(r, t) = Д — tj d3r’dt’, (Д6.19)

где 6(х) — дельта-функция, R = r — r’. Данные выражения удобны тем, что они в явном виде устанавливают связь между распределениями зарядов и токов и потенциалами электромагнитного поля.

Для точечного заряда

p(r, t) = qS(r — r0(t)), J(r, t) = qv(t)6(r-r0(t)), (Д6.20)

где v(t) = f0(t) — скорость заряда. Подставляя (Д6.20) в (Д6.18), (Д6.19) и выполняя интегрирование по пространственным координатам, получим

<p(r, t)=q j 6 (t’ + Шр — — tj dt’, (Д6.21)

Рис. Д6.1. К расчету поля излучения точечного заряда

где теперь R — расстояние от заряда до точки наблюдения поля, т. е.

R(t’) = у/[х — х0it’)]2 + [у — y0(t’)]2 + [z — z0(t’)]2. (Д6.23)

Взаимное расположение векторов г, r0(t), v(t), а также

У

R(t) = г — го (і), ш = R/R (Д6.24)

показано на рис. Д6.1. Из (Д6.23), (Д6.24) вытекают соотношения

dR dR dm rh(rh, v) — v,=. ■ _

_ = — = — mv, -= R’ , VK = m. (Д6.25)

Выполним интегрирование по времени в формулах (Д6.21), (Д6.22). В этих формулах аргумент дельта-функции в подынтегральных выражениях является функцией переменной интегрирования. Поэтому предварительно рассмотрим интеграл вида

J = J 9(t)S[f(t)]dt. (Д6.26)

Обозначим через tо корень уравнения f(t) = 0. Тогда в окрестности точки £о

= (t — to)f(to). (Д6.27)

to

Подставляя (Д6.27) в (Д6.26) и интегрируя, получим

/

g(t)S[f(t)]dt=^M — (Д6.28)

1Д*оЛ

Введем функцию

/(£’) = t’ + — t. (Д6.29)

С

Применяя правило (Д6.28), получим из (Д6.21), (Д6.22)

ад т’

(Д6.30) (Д6.31) (Д6.32)

¥>(г, t) — A(r, t) =

qv{t’) 1

где время t’ — есть решение уравнения

*4^-* = о

(Д6.33)

i(t> -1-і, 1 _ і _

Л 1 dt’ с dt’ с

Подставляя (Д6.33) в (Д6.30), (Д6.31), получим следующие выражения для скалярного и векторного потенциалов:

адад

ад —

qv{t’)

A(r, t) =

(Д6.34) (Д6.35)

ад —

или, в краткой форме,

(Д6.36) (Д6.37) (Д6.38) и индекс “запазд” указывает на то, что величины в скобках следует брать в момент времени t’, определяемый уравнением (Д6.32). Формулы (Д6.36), (Д6.37) выражают потенциалы электромагнитного поля, создаваемого движущимся точечным зарядом. Они носят название потенциа­лов Лиенара-Вихерта. Согласно этим формулам, поле излучения в точке на­блюдения Р в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени t для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда в точку Р равно разности t — t’. Для вычисления напряженностей электрического и магнитного полей по формулам (Д6.6), (Д6.7) надо дифференцировать и А по координатам точки наблюдения х, у, z и по моменту наблюдения t. Между тем формулы (Д6.36), (Д6.37) выражают потенциалы как функции от Ги t’. Время же f в силу урав­нения (Д6.32) есть неявная функция от г и t. Следовательно, при подстановке

<p(r, t) = q A(r, t) = g

запазд

запазд

где введены обозначения

/3 = vjс, х = 1 — ш/3

формул (Д6.36), (Д6.37) в (Д6.6), (Д6.7) придется дифференцировать неявные функции. Чтобы избежать этого, воспользуемся для потенциалов выражения­ми (Д6.21), (Д6.22), в которых переменные х, у, z, t фигурируют явным образом.

Заметим, что координаты точки наблюдения х, у, z входят в (Д6.21), (Д6.22) только через величину R, определяемую формулой (Д6.23). С учетом (Д6.25) это позволяет записать оператор дифференцирования по координатам следую­щим образом:

* = = <Дб’39>

Подставляя (Д6.21), (Д6.22) в (Д6.6), (Д6.7) и дифференцируя подынтеграль­ные выражения, получим

(Д6.40)

# (г-, 0 =,/ [й, д] {- І і (с+1 — і) + і f (t>+£ — <)} dt

Здесь штрих у дельта-функции обозначает дифференцирование по ее аргумен­ту, т. е.

5′(х) = £5(х). . (Д6.41)

Используя это обозначение, можно записать

d_ dt’

,(, + Ш-Л_,Г, + Ш_Л[1 + ЭД

с / с / I с dt.

или, с учетом (Д6.33), (Д6.38),

<да’42)

Подставляя (Д6.42) в (Дб.40) и вычисляя интегралы с производной дельта­функции интегрированием по частям, находим

(Д6.43)

v / ) запазд

кВ? cxdt* I kR

запазд

В формулах (Д6.43) удобно сначала выполнить дифференцирование единично­го вектора т. Учитывая (Д6.25), получаем следующие выражения для напря­женностей электрического и магнитного полей: …..

запазд

(Д6.44)

Из (Д6.44) следует, что поля Ё и Й связаны между собой соотношением

(Д6.45)

Н = [ш, е] .

Оставшиеся производные в (Д6.44) вычисляются следующим образом:

(Д6.46)

Подставляя (Д6.46) в (Д6.44), находим

(Д6.47)

Итак, поле излучения точечного заряда описывается формулами (Д6.45), (Д6.47). Эти формулы справедливы при любом законе движения заряда и при любом расстоянии от заряда до точки наблюдения поля. В частности, при v = v = 0 из (Д6.45), (Д6.47) следует Й = О, Ё = fhq/R2.

Излучение диполя в дальней зоне. Для описания излучения диполя можно воспользоваться общими формулами (Д6.45), (Д6.47). Однако здесь мы хотели бы продемонстрировать иной подход, основанный на том, что в оптике можно наложить сильные ограничения на такие параметры как размер диполя (а), длина волны излучения (А), расстояние от диполя до точки наблюдения поля (г). А именно,

(Д6.48)

В самом деле, полагая а ~ 10-8 см (характерный размер атома или молекулы), А ~ 10-4 см (длина световой волны), г ~ 1 см, видим, что условия (Д6.48) хорошо выполняются.

(Д6.49)

где р — дипольный момент, Я = f/г — единичный вектор, направленный от диполя в точку наблюдения поля (рис. Д6.2).

Условия (Д6.48) позволяют построить простые приближенные выражения для полей Ё и Я, описывающие дипольное излучение в вакууме в так называг емой дальней (или волновой) зоне. Эти выражения имеют вид

Рис. Д6.2. Структура дипольного излучения в волновой зоне

Остановимся на выводе формул (Д6.49). Будем исходить из общих формул (Д6.16), (Д6.17) для потенциалов поля. Пользуясь тем, что расстояние до точки наблюдения поля значительно превышает размер диполя, в формулах (Д6.16), (Д6.17) можно положить

|г — г | = r — пг (Д6.50)

(рис. Д6.3). Подставляя (Д6.50) в (Д6.16), (Д6.17), получим

4>{r, t) = 1 J Р (r’,t — Т~ + dV, (Д6.51)

A{r, t) = — f J (r’,t — — + —^ d? r’. (Д6.52)

cr J с с )

Если, кроме того, расстояние до точки наблюдения значительно превышает длину волны излучения, т. е. г » А, то поле излучения в малых участках про­странства можно рассматривать как плоскую волну. В плоской волне векторы Е и Н связаны между собой соотношением

Е=-

(см. формулу (2.37)). Кроме того, можно записать

Ё — ef{t — nr/c), Я = hf(t — пг/с),

(Д6.53)

п, Я

Рис. Д6.3. К расчету излучения диполя

понимая под п единичный вектор направления на некоторую фиксированную точку Р, а под г — радиус-вектор некоторой близкой к Р точки. Соотношение (Д6.6) позволяет предположить, что векторный потенциал также имеет вид плоской волны:

А = aF(t — nf/c).

Пользуясь этой формулой, нетрудно показать, что

Я = rot А = — ~с [п, І] , (Д6.54)

где А = dA/dt.

Формулы (Д6.53), (Д6.54) показывают, что для полного описания поля из­лучения в волновой зоне достаточно вычислить только векторный потенциал А. После этого поля Е и Н могут быть вычислены по формулам

Ё = І [я, [п, І]] Я = п, АГ] . (Д6.55)

Допустим теперь, что размер системы зарядов значительно меньше длины волны излучения, т. е. а <С А. В этом случае выражение (Д6.52) для векторного потенциала приобретает вид

X(r, t) = — [ j(r’,t — r/c) d3r’. (Д6.56)

cr J

Конкретизируем это выражение, полагая, что система зарядов представляет собой элементарный электрический диполь. Для простоты один из зарядов ди­поля (например, отрицательный) будем считать неподвижным и совместим с этим зарядом начало системы координат (рис. Д6.3). Тогда можно написать

j=pv, р = qf0, v = dro/dt, (Д6.57)

где q и р — заряд и дипольный момент диполя, fo и v — радиус-вектор и скорость подвижного заряда. Из (Д6.56) и (Д6.57) следует, что

A(r, t) = —qv(t — r/c) = -~p(t — r/c). (Д6.58)

cr cr

Наконец, подставляя (Д6.58) в (Д6.55), получим искомые формулы (Д6.49).

Гармонический осциллятор. Рассмотрим частный случай, когда ди­польный момент, сохраняя постоянную ориентацию в пространстве, меняется во времени по гармоническому закону:

p(t) = ро cosujt. (Д6.59)

Вычислим диаграмму направленности и полную мощность излучения осцилля­тора.

Введем систему координат, совместив ее начало с неподвижным зарядом и направив ось z вдоль направления колебаний диполя. Пусть г — радиус — вектор точки наблюдения поля Xq, уо, io, — орты декартовой системы коорди­нат, п = г/г — единичный вектор направления на точку наблюдения; г, в, <р — сферические координаты точки наблюдения (рис. Д6.4). Тогда

Рис. Д6.4. Система координат для расчета характеристик излучения

Ро — 20ро, Ро = qA, (Д6.60)

где q — заряд, А — амплитуда колебаний диполя.

Подставляя (Д6.59) в (Д6.49), получим следующие выражения для полей Е и Я в волновой зоне:

г 2

Ё = — п, я| , Я = — [й, ро] cos(oit — кг), (Д6.61)

г

где к = и/с — волновое число световой волны. Интенсивность I и полная мощность Р излучения выражаются формулами

2тг 7Г

I=-^(E2), P = JdipJlr2 sin0d0; (Д6.62)

угловые скобки обозначают усреднение по периоду колебаний. Пользуясь фор­мулами (Д6.60)-(Д6.62), получаем

°Я2А2к4 — _ cq2A2k4

1=si" *. р=^-3—• <да-вз)

Диаграмма направленности излучения осциллятора показана на рис. Д6.5.

Излучение ротатора. Ротатором* называется жесткий вращающийся ди­поль. Вычислим основные характеристики излучения ротатора: полную мощ­ность, диаграмму направленности, состояние поляризации. В основу расчета положим формулы для излучения осциллятора, поскольку ротатор можно рас­сматривать как суперпозицию двух линейных диполей, колеблющихся во вза­имно перпендикулярных направлениях со сдвигом по фазе, равным тг/2.

Введем систему координат, показанную на рис. Д6.4, совместив плоскость х, у с плоскостью вращения ротатора. Тогда дипольный момент ротатора можно

(Дб.64) (Д6.65) (Д6.66)

Рис. Д6.5. Диаграмма направленности излучения осциллятора

записать в виде

Р = S0 Рх + УоРу,

где

> Рх =Ро COS Lot, Ру = Ро sin ut, Ро = qA,

q — заряд, А — радиус, и — частота вращения ротатора. Подставляя (Д6.64), (Д6.65) в (Д6.49), получим

і 2

Д = -[я, я], H=-[n, p(t-r/c).

Теперь по формулам (Д6.62), (Д6.64)-(Д6.66) находим

г — eg А к п, —2 m р _ 2^2i.4 Л2

Диаграмма направленности излучения ротатора показана на рис. Д6.6.

Рассмотрим теперь поляризацию излучения ротатора. Как видно из форму­лы (Д6.66), в волновой зоне поляризация излучения определяется вектором

а=[п, р|. (Д6.67)

Введем систему координат на плоскости фронта волны. В качестве осей коор­динат удобно выбрать оси х, х2, определяемые ортами

ei = [n, F0] / sin 0, е2 = [п, Єї] . (Д6.68)

Как видно из (Д6.68), одна из осей координат лежит в плоскости, задаваемой векторами п и zq, а другая — перпендикулярна этой плоскости. Проекции век­тора поляризации а на оси хі, х2 выражаются формулами

а і = о?1, а2 = ае2. (Д6.69)

Пользуясь формулами (Д6.64), (Д6.65), (Д6.67)-(Д6.69), получим

Рис. Д6.6. Диаграмма направленности излучения ротатора

а і = ~(пхрх + пуру)п2/sin в, ^

а2 = (пурх — пхру)/ sin0,

где пх, пу, пг — декартовы компоненты вектора п. При выводе (Д6.70) учтено, что

2,2.2 і

nx+n‘+nl = 1.

Подставляя (Д6.65) в (Д6.70) и выполняя несложные преобразования, находим

oi = bnz cos(u>t — гр), 02 = bsiu(u>t — гр), (Д6.71)

где параметры Ь и гр определяются формулами

b = —qA, совгр = nx/sin9, sin гр = ny/sin0 (Д6.72)

И уЧТеНО, ЧТО П2 +Tly = Sin2 в. f.’ M s,

Формулы (Д6.71) показывают, что излучение ротатора имеет эллиптиче­скую поляризацию. Оси эллипса поляризации повернуты относительно век­торов ei и Є2 на угол гр, определяемый формулами (Д6.72). Отношение осей эллипса равно nz = cos в. В частности, в направлении 0 = 0 ротатор излучает свет с круговой поляризацией.

Излучение квадруполя. Квадруполем называется пара близко располо­женных диполей, колеблющихся в противофазе. Дипольный момент квадрупо­ля тождественно равен нулю, поэтому дипольное излучение отсутствует. Если же принять во внимание конечный размер квадруполя и уточнить расчет, то оказывается, что электромагнитные волны, излучаемые отдельными диполя­ми, приходят в дальнюю зону со слегка различными задержками, а потому не полностью гасят друг друга. Возникающее при этом слабое остаточное излуче­ние называется квадруполънглм излучением.

Вычислим сначала квадрупольное излучение, создаваемое элементарным электрическим зарядом. Пусть точечный электрический заряд q движется по

закону го = ?o(t). Введем радиус-вектор г точки наблюдения поля, а также вектор

(Д6.73)

R(t) = r-r0(t),

соединяющий заряд с точкой наблюдения (рис. Д6.1).

Поле излучения в точке наблюдения Р в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени t’ такой, что

SHAPE * MERGEFORMAT

: fH. il

(Д6.74)

c(t — t’) = R(t’)

где R — расстояние от заряда до точки наблюдения, т. е.

R(t’) = у/[х — яо(*’)]2 + [У ~ Уо(*’)]2 + [z “ -*o(*’)]2- (Д6.75)

Формулы (Д6.74), (Д6.75) определяют неявную функцию

(Д6.76)

Предположим, что скорость движения заряда много меньше скорости света:

v с.

(Д6.77)

Из общей формулы (Д6.47) для поля излучения точечного заряда следует, что в этом случае напряженность электрического поля в точке Р есть

(Д6.78)

Здесь

(Д6.79)

тп = R/R,

точка над буквой обозначает дифференцирование функции по ее аргументу. Формула (Д6.78) описывает переменную компоненту поля точечного заряда на произвольном расстоянии от него.

Если размер области движения заряда значительно меньше расстояния до точки наблюдения, т. е.

го < г,

(Д6.80)

то в формуле (Д6.78) можно заменить переменный вектор тп = m(t’) на посто­янный вектор

(Д6.81)

п = г/г.

При этом (Д6.78) приобретает вид

(Д6.82)

Теперь нужно конкретизировать вид зависимости (Д6.76). Однако, как вид­но из формул (Д6.74), (Д6.75), сделать это в общем случае не представляется возможным. Поэтому воспользуемся условием (Д6.80), которое обычно хоро­шо выполняется в оптике, и попытаемся получить приближенное выражение,
пригодное для описания поля Ё(г, t) на достаточно больших расстояниях от за­ряда. Как видно из рис. Д6.1, при условии (Д6.80) для величины R(t’) можно записать приближенную формулу

(Д6.83) (Д6.84)

R(t’) — г — nf0{t’). Подставляя (Д6.83) в (Д6.74), получим

Далее можно написать

(Д6.85)

или, короче,

(Д6.86)

Го(*’) = Го + ~(П, г0)г0,

с

где величины г0 и fo в правой части относятся к моменту времени t-г/с. Преобразуем выражение (n, fo)fo, входящее в (Д6.86), следующим образом:

(n, f0)f0 = ~ {(й, г0)г0} + ^(й, г0)го — ^(й, го)г0 =

(Д6.87) (Д6.88) (Д6.89) (Д6.90) (Д6.91)

= ^{(Я’Г’Ь)Г’Ь} + Н["0^0]’Ф

Подставив (Д6.87) в (Д6.86), получим

го(0 = го + 1й+1[м],

где введены векторы

a = (n, r0)r0, b=[fb, f0j.

Из (Д6.88) следует, что

fWWo + is+ip. s].

Подставляя теперь (Д6.90) в (Д6.82), находим

Ё{‘f’4 = /к {[* К’*] 1+ h К [й> *11+к Iя’1*1} •

Здесь учтено, что

[п, [я, [Ц]] =

В знаменателе выражения (Д6.91) мы пренебрегли отличием R от г. Введем векторы

D = (d-nr%l3)q = {(Я, Я0)Я0 — пгЦ3} q, p = qf0, М = qb/2c = ^ [г=Ь, г0] .

Тогда формулу (Д6.91) можно представить в виде E(r, t) = Формула (Д6.93) дает искомое приближенное выражение для поля излучения точечного заряда. Формула применима при условии (Д6.80). В ней использова- ны обозначения:

p=qr0, D = {(Я, г0)г0 — пг%/3} q, М = ^ [г0, Я0] ,

где q — величина заряда, го — радиус вектор заряда, гЬ — его скорость. Точка над буквой обозначает дифференцирование по времени. Все переменные вели­чины в правой части формулы (Д6.93) берутся в момент времени t — г/с. Как видно из (Д6.94), векторы ри М характеризуют движущийся точечный заряд как таковой. Вектор р называется диполъным моментом, а вектор М — магнитным моментом заряда. Аналогичные векторы для системы зарядов определяются путем суммирования по всем зарядам. Что же касается вектора D, то он, как видно из (Д6.94), зависит не только от движения заряда, но и от выбора точки наблюдения поля. Зависимость D от координат заряда можно выделить в явном виде, если ввести тензор квадрупольного момента

(Д6.92)

1	’		1 Г — -1
+ 2с	Я,	Я, D	+ |я, м

(Д6.93)

(Дб.94)

(Д6.95) (Д6.96)

Да/3 — Q (г0а *00 ^а/ЗЧ)/3)* Это позволяет записать компоненты вектора Д в виде

Da = ^ Дд/3— Да/3^/3-

В формулах (Д6.95), (Д6.96) величины хоа, Да, пр обозначают соответственно декартовы компоненты векторов гЬ, Д, Я; 6а@ — символ Кронекера.

Выпишем полностью матрицу Д:

( хо — го/3

ХоУо у о ~ го/3 гоУо

XqZq Уо%о 4-гЦъ

D = q

(Д6.97)

Уохо ZqXq

Как видно из (Д6.97), сумма диагональных элементов матрицы Д равна ну­лю. Именно для этого в выражение (Д6.92), определяющее вектор Д, введено слагаемое, пропорциональное Я.

Компоненты излучения, описываемые отдельными слагаемыми в формуле (Д6.93), называются дипольним, квадруполънъш и магнитодиполъным излуче­ниями.

Гармонический осциллятор. Рассмотрим в качестве примера излу­чение гармонического осциллятора, т. е. точечного заряда, движущегося по закону

r0(t) — z0A cos wt. (Д6.98)

Здесь? o — единичный вектор, направленный вдоль оси z, А и ш — амплитуда и частота колебаний. Пользуясь формулами (Д6.98), (Д6.89), (Д6.91), нетрудно показать, что в этом случае *

Ё(г, t) — |п, [n, z0] j {— cos(ujt — kr) + 2kA(n, So) sin 2{wt — kr)} , (Д6.99)

где k = cj/c. В пределе к A —> 0, который соответствует осциллятору исчезающе малого размера, из (Д6.99) получаем

E{f, t) = —- ^ |й, [Я,*]] cos (cot — кг), (Д6.100)

что совпадает с выражением для поля (Д6.61), полученным выше в дипольном приближении. Из (Д6.99) следует, что при условии

к А «; 1, (Д6.101)

означающем, что размер осциллятора много меньше длины световой волны, квадрупольное излучение осциллятора значительно слабее его дипольного из­лучения. Другой вывод состоит в том, что частота квадрупольного излучения осциллятора не совпадает с частотой его колебаний, а вдвое превышает ее. Иначе говоря, квадрупольное излучение осциллятора происходит на частоте второй гармоники. Физически это связано с тем, что запаздывание поля, при­ходящего в данную точку пространства, изменяется в течение периода коле­баний осциллятора. Излучение осциллятора, следовательно, есть волна, фаза которой модулирована во времени. Наличие же фазовой модуляции приводит к тому, что частота квадрупольного излучения не совпадает с частотой коле­баний самого осциллятора.

Другая ситуация имеет местр/если

fo(t) = Zq{Aq + Acosujt), где Ao А. В этом случае вместо (Д6.99) получим:

E(f, t) :: — — [п, |тг, zoj j {— cos (wf — kr) + kAo(fi, zq) sin {wt — kr)} ,

т. e. квадрупольное излучение происходит на частоте основной гармоники.

Квадруполь. Вычислим поле излучения линейного симметричного ква­друполя, образованного неподвижным центральным зарядом величины —2q и двумя зарядами величины q каждый, осциллирующими в противофазе (рис. Д6.7). Радиус-векторы движущихся зарядов запишем в виде

ч

-2 q О

Ч

Рис. Д6.7. Квадруполь

В силу принципа суперпозиции поле излучения можно вычислить по формуле

Е( г, t) = Ег( г, t) + Mr, t), (Д6.103)

где E{r, t) и E2(r, t) — поля, создаваемые отдельными движущимися заря­дами. Первое из них, очевидно, совпадает с полем, описываемым формулой (Д6.99), а второе — получается из первого заменой zo на — zq. Таким образом, полное поле излучения есть

E(f, t) = ^ |n, |n, zoj j (n, zo) sin — kr). (Д6.104)

Если же вместо (Д6.102) использовать формулы

fi (t) = Z0 (До + Л COS LJt), f2 (t) = — fi (t),

где Д0 » А, то

E(r, t) = j^n, [Я,*]] (n, zo)sin(ujt — kr).

Нетрудно вычислить интенсивность и полную мощность излучения. Используя (Д6.104), (Д6.62), получаем

7 = sin2 в cos2 в, (Д6.105)

7ГГ

р = ^cq2k6A4. (Д6.106)

15

Здесь в — угол между векторами п и Zq. Диаграмма направленности изучения квадруполя показана на рис. Д6.8.

Электрическое поле заряда, движущегося прямолинейно и равно­мерно. Рассмотрим точечный электрический заряд q, движущийся вдоль оси z с постоянной скоростью v. Найдем связь между параметрами движения заряда и создаваемым им электрическим полем в один и тот мсе момент времени.

Пусть в момент времени t заряд находится в начале координат, т. е. имеет радиус-вектор r^o(i) = 0, как показано на рис. Д6.9. Для отыскания поля E(r, t)

воспользуемся формулой (Д6.47). Полагая /3 = 0, получим

Рис. Д6.8. Диаграмма направленности излучения квадруполя

Е{Р, f) = g і —} • (Д6.Ю7)

v ) запазд

Здесь Р = v/c, fh = R/R, R = г — r0, x— — rhp, индекс “запазд” указывает на то, что величина в скобках берется в предшествующий момент времени t‘ такой, что

c(t — t’) = R(t’). (Д6.108)

На рис. Д6.9 положение заряда в момент времени t’ изображено точкой О’. Из определения времени t’ следует, что

t-t’ = — = —. (Д6.109)

С V

Отсюда

0’0 = pR. (Д6.110)

Используя обозначения рис. Д6.9, можно записать

тйр = Р cos a, O’Q = O’О cos a, OQ = O’О sin а,

Ъ = Rsina = rsin#, OS = jRcosq — O’O = rcos#, (Д6.111)

PQ = R — O’Q, (PQ)2 = r2 — (OQ)2. Из (Д6.110), (Д6.111) следует, что

O’Q = RmP, PQ = xR, cos а — p = cos# (Д6.112)

R

и

(хД)2 = r2(l — p2 sin2 в). (Д6.113)

Последняя формула выражает величину xR через параметры движения заряда в данный момент времени. Покажем теперь, что

Рис. Д6.9. К расчету электрического поля заряда, движущегося прямолинейно и рав­номерно

т — Д = Г-п. (Д6.114)

Векторное соотношение (Д6.114) эквивалентно двум скалярным соотношениям

V г

т\ ~ ~ Rnb т±—0х=дтгх> (Д6.115)

где с помощью знаков || и ± обозначены проекции соответствующих векторов на направление вектора v и перпендикулярное ему направление. Как видно из рис. Д6.9,

Ц\ = Д /?х = о, тц = cos а, т± = sin а, (Д6.116)

П|| = COS0, п± = sin0.

Соотношения (Д6.115) непосредственно следуют из (Д6.111), (Д6.112), (Д6.116). Тем самым формула (Дб. 114) доказана.

Подставляя (Д6.113), (Д6.114) в (Д6.107), получим

E(r, t) = n±? % Д2) з (Дб.117)

Т* (1 — р1 sin в)3’2

Формула (Д6.117) решает поставленную задачу. Она выражает напряженность электрического поля E(r, t) заряда, движущегося прямолинейно и равномерно, через характеристики движения заряда в тот же момент времени t.

Отзывов нет

No comments yet.

RSS-лента комментариев.

К сожалению, по вашему запросу ничего не найдено.